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<!DOCTYPE html>

<title>Waringsches Problem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Waringsches Problem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das Waringsche Problem ist ein Problem der <a href="Zahlentheorie" title="Zahlentheorie">Zahlentheorie</a>. Es verallgemeinert den <a href="Vier-Quadrate-Satz" title="Vier-Quadrate-Satz">Vier-Quadrate-Satz</a>, der besagt, dass jede natürliche Zahl als Summe von vier Quadratzahlen dargestellt werden kann.

In seinem Werk Meditationes algebraicae (<a href="1770" title="1770">1770</a>) stellte <a href="Edward_Waring" title="Edward Waring">Edward Waring</a> die Vermutung auf, dass es für jeden Exponenten eine solche gemeinsame Summandenanzahl geben müsse. Das Waringsche Problem gilt heute als gelöst.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_Waringsche_Problem">Das Waringsche Problem</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formulierung">Formulierung</h3></div>

Zu jedem <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen</a> <a href="Potenz_(Mathematik)" title="Potenz (Mathematik)">Exponenten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a5bc4b7383031ba693b7433198ead7170954c1d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.73ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> existiert eine natürliche Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/40c324a85129d11bcfa0ad860a8589415b85202e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.655ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(k)\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> derart, dass jede Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d059936e77a2d707e9ee0a1d9575a1d693ce5d0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> als Summe von höchstens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b991fb29325fbaa24480e075e54871f5128a62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(k)}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-ten <a href="Potenz_(Mathematik)#Natürliche_Exponenten" title="Potenz (Mathematik)">Potenzen</a> dargestellt werden kann, also eine Darstellung der Form

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n={a_{1}}^{k}+{a_{2}}^{k}\cdots +{a_{g}}^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1f673093e23d92ff3b3455ada09d6a279173ff7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.37ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle n={a_{1}}^{k}+{a_{2}}^{k}\cdots +{a_{g}}^{k}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit natürlichen Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g,\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{g}\in \mathbb {N} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g,\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{g}\in \mathbb {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51cf17552ccf9f1d52217b8e634ed7530a8d49c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.281ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g,\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{g}\in \mathbb {N} }" loading="lazy"> besitzt, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\leq g(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\leq g(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a9564a341628f62b6819f3d0996ce7ba18ed17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.351ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g\leq g(k)}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erläuterungen">Erläuterungen</h3></div>

Darüber hinaus wird dann üblicherweise nach der kleinsten derartigen Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b991fb29325fbaa24480e075e54871f5128a62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(k)}" loading="lazy"> gefragt. Beispielsweise besagt der Vier-Quadrate-Satz, dass jede natürliche Zahl durch eine Summe von vier Quadratzahlen darstellbar ist, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(2)\leq 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(2)\leq 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b2e8f652f7cd28acc1b4935d95fd85dcf64c303.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(2)\leq 4}" loading="lazy">. Da, wie die Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2875346d182e62649b96196a5e38fe16ab29093e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:21.649ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}}" loading="lazy"> zeigt, drei Quadrate nicht immer genügen, muss <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(2)\geq 4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(2)\geq 4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c4e4243ba8cf3f6dbead19f7abda984bbe8456ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(2)\geq 4}" loading="lazy"> sein, insgesamt also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(2)=4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(2)=4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f6498d810dd4fd5a8d3da7c858811dda4653eb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(2)=4}" loading="lazy">.

Während man also 4 Quadrate für die Zahl 7 benötigt, sind 9 Kubikzahlen für die Zahl 23 erforderlich und 19 vierte Potenzen für die Zahl 79. Waring vermutete, dass diese Werte die höchstmöglichen sind, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(2)=4,g(3)=9}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(2)=4,g(3)=9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9beb857bc2ae72f2cbb7132282db4275e7790b09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.731ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(2)=4,g(3)=9}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(4)=19}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(4)=19}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dc7ec1fe85e9ddcadbb1aedaf5745e1482b2d7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(4)=19}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Lösungen_für_kleine_Exponenten">Lösungen für kleine Exponenten</h2></div>

Warings Vermutung wurde 1909 von <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> bewiesen.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Die Aussage wird deshalb manchmal auch als Satz von Waring-Hilbert bezeichnet. Der Hilbertsche Beweis wurde 1912 durch <a href="Robert_Remak_(Mathematiker)" title="Robert Remak (Mathematiker)">Robert Remak</a> und Erik Stridsberg vereinfacht.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Einen elementaren Beweis für das Waringsche Problem, der andere Ideen als Hilbert nutzte, lieferte 1942 <a href="Juri_Wladimirowitsch_Linnik" title="Juri Wladimirowitsch Linnik">Juri Wladimirowitsch Linnik</a> mithilfe von Ergebnissen von <a href="Lew_Genrichowitsch_Schnirelman" title="Lew Genrichowitsch Schnirelman">Lew Schnirelman</a>.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<dd>Durch den Vier-Quadrate-Satz ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(2)=4}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(2)=4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f6498d810dd4fd5a8d3da7c858811dda4653eb6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(2)=4}" loading="lazy"> bewiesen.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(3)=9}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1402ed05f22a81e3909e27d2cedc46502d0609d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.349ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(3)=9}" loading="lazy"> ist, wurde in den Jahren 1909 bis 1912 von <a href="Arthur_Wieferich" title="Arthur Wieferich">Arthur Wieferich</a> und <a href="Aubrey_J._Kempner" title="Aubrey J. Kempner">Aubrey J. Kempner</a> (1880–1973) bewiesen.<a href="#cite_note-4">[4]</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> <a href="Edmund_Landau" title="Edmund Landau">Edmund Landau</a> konnte ebenfalls bereits im Jahr 1909 zeigen, dass nur endlich viele natürliche Zahlen neun Kuben benötigen,<a href="#cite_note-6">[6]</a> jede hinreichend große Zahl also als Summe von acht Kuben darstellbar ist, und <a href="Leonard_E._Dickson" title="Leonard E. Dickson">Leonard E. Dickson</a> fand 1939, dass 23 und 239 die beiden einzigen Zahlen sind, die tatsächlich neun Kuben benötigen.<a href="#cite_note-7">[7]</a> Schon Arthur Wieferich vermutete, dass tatsächlich nur 15 Zahlen acht und nur 121 Zahlen sieben Kuben benötigen.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Heute wird allgemein angenommen, dass man nur für Zahlen ≤ 454 acht Kuben (oder neun für 23 und 239), für Zahlen ≤ 8.042 sieben Kuben und für Zahlen ≤ 1.290.740 sechs Kuben benötigt, alle hinreichend großen Zahlen also als Summe von fünf Kuben darstellbar sind.<a href="#cite_note-9">[9]</a></dd>

<dd>Den Beweis des Sieben-Kuben-Satzes konnte als erster 1941 Juri Linnik führen,<a href="#cite_note-10">[10]</a> von <a href="George_Leo_Watson" title="George Leo Watson">George Leo Watson</a> wurde er 1951 deutlich vereinfacht.<a href="#cite_note-11">[11]</a></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(4)=19}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9dc7ec1fe85e9ddcadbb1aedaf5745e1482b2d7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(4)=19}" loading="lazy"> wurde 1986 von <a href="Ramachandran_Balasubramanian" class="mw-redirect" title="Ramachandran Balasubramanian">Ramachandran Balasubramanian</a>, François Dress und <a href="Jean-Marc_Deshouillers" title="Jean-Marc Deshouillers">Jean-Marc Deshouillers</a> gezeigt.<a href="#cite_note-12">[12]</a> Bereits seit 1939 weiß man außerdem, dass jede hinreichend große Zahl als Summe von 16 <a href="Biquadrat" title="Biquadrat">Biquadraten</a> darstellbar ist, die Menge der Zahlen, die tatsächlich 17, 18 oder 19 vierte Potenzen benötigen, also endlich ist.<a href="#cite_note-13">[13]</a> Dieser Wert kann nicht verbessert werden.<a href="#cite_note-14">[14]</a></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(5)=37}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85a5a22cf0f428bbd63cf9739fe13f10992a5cf3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(5)=37}" loading="lazy"> wurde im Jahr 1964 von <a href="Chen_Jingrun" title="Chen Jingrun">Chen Jingrun</a> nachgewiesen.<a href="#cite_note-15">[15]</a></dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(6)=73}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be388d57ec8520b5643b88c54f75b8b362b67224.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.511ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(6)=73}" loading="lazy"> wurde im Jahr 1940 von <a href="S._Sivasankaranarayana_Pillai" title="S. Sivasankaranarayana Pillai">S. Sivasankaranarayana Pillai</a> gezeigt<a href="#cite_note-16">[16]</a>, sowie</dd>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(7)=143}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aff19ea1598b175954267a3cd9c880ff38d96490.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(7)=143}" loading="lazy"> wurde im Jahr 1937 von Leonard E. Dickson gezeigt.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Lösung">Allgemeine Lösung</h2></div>

Durch die Arbeiten von Leonard Dickson, <a href="S._Sivasankaranarayana_Pillai" title="S. Sivasankaranarayana Pillai">Pillai</a>, <a href="R._K._Rubugunday" title="R. K. Rubugunday">R. K. Rubugunday</a> und <a href="Ivan_M._Niven" title="Ivan M. Niven">Ivan M. Niven</a> sind nun alle anderen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b991fb29325fbaa24480e075e54871f5128a62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(k)}" loading="lazy"> ebenfalls bekannt.<a href="#cite_note-17">[17]</a><a href="#cite_note-18">[18]</a><a href="#cite_note-19">[19]</a><a href="#cite_note-20">[20]</a>

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)={\begin{cases}\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2&{\text{ für }}k\leq 6{\text{ oder }}3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \\\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-c_{k}&{\text{ für }}k>6{\text{ und }}3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \end{cases}}}">

<mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mrow>

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</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)={\begin{cases}\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2&{\text{ für }}k\leq 6{\text{ oder }}3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \\\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-c_{k}&{\text{ für }}k>6{\text{ und }}3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \end{cases}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca805eb0ec0fba34c75c45a7aaae865ad173e9e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.505ex; width:88.07ex; height:12.176ex;" alt="{\displaystyle g(k)={\begin{cases}\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2&{\text{ für }}k\leq 6{\text{ oder }}3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \\\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-c_{k}&{\text{ für }}k>6{\text{ und }}3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \end{cases}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c_{k}\in \{2,3\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{k}\in \{2,3\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cabc95f2662ae77a8fd50507cfb008bdf1be4213.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.62ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle c_{k}\in \{2,3\}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle c_{k}=2\Leftrightarrow \left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor =2^{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle c_{k}=2\Leftrightarrow \left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor =2^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce4a6ce5b61213eab4f77c0eafdccdcdf91fe452.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:55.611ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle c_{k}=2\Leftrightarrow \left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor \cdot \left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +\left\lfloor \left({\frac {4}{3}}\right)^{k}\right\rfloor =2^{k}}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-21">[21]</a>

Es wird vermutet, dass der zweite Fall für kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> auftritt. Die Bedingung für den ersten Fall ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 6\leq k\leq 200.000}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 6\leq k\leq 200.000}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c860a6addb39d4dfdafce130d0f614d40870ce13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:16.192ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 6\leq k\leq 200.000}" loading="lazy"> erfüllt<a href="#cite_note-22">[22]</a> und es ist bekannt, dass es höchstens endlich viele <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> geben kann, für die der zweite Fall überhaupt in Frage käme.<a href="#cite_note-23">[23]</a> Sollte sich diese Vermutung bestätigen, so könnte man obige Formel zu

<mrow>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/727303603f19b796f41951abb662693762375341.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.809ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle g(k)=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor +2^{k}-2}" loading="lazy"></dd></dl>

vereinfachen.

<pre>k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 …

</pre>

(Folge <a href="https://oeis.org/A002804" class="extiw external" title="oeis:A002804">A002804</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a>)

Für größere <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> kann die Anzahl auch mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)\approx 2^{k}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)\approx 2^{k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45c582b846594059f80672fa15e25e579cfb61a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.486ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle g(k)\approx 2^{k}}" loading="lazy"> abgeschätzt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kleinste_Zahl_a(k)">Kleinste Zahl a(k)</h2></div>

Die jeweils kleinste Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a(k),}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a(k),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bffafe386df11a0e334d4d684daa8d2e986a624.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.897ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a(k),}" loading="lazy"> die im Waringschen Problem die maximale Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(k)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(k)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/77b991fb29325fbaa24480e075e54871f5128a62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle g(k)}" loading="lazy"> an Summanden benötigt, ist für kleine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">:

<pre>k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

g(k) 1 4 9 19 37 73 143 279 548 1079 …

a(k) 1 7 23 79 223 703 2175 6399 19455 58367 …

</pre>

(Folge <a href="https://oeis.org/A018886" class="extiw external" title="oeis:A018886">A018886</a> in <a href="On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences" title="On-Line Encyclopedia of Integer Sequences">OEIS</a>)

Beispiel für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=3}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=3}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/662e06a2436f8a44fec791f5c794621f10dc8f30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=3}" loading="lazy">: Demnach ist jede Zahl als Summe von 9 Dreierpotenzen (Kuben) darstellbar. 23 ist die kleinste Zahl, die nicht als Summe von weniger als 9 Kuben dargestellt werden kann, es ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fa5bb30126faf679a8461dd6d65fe72a2098712.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:48.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 23=2^{3}+2^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}+1^{3}}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Satz_von_Erd%C3%B6s-Suranyi" title="Satz von Erdös-Suranyi">Satz von Erdös-Suranyi</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quellen_und_Literatur">Quellen und Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Helmut_Koch_(Mathematiker)" title="Helmut Koch (Mathematiker)">Helmut Koch</a>, Herbert Pieper: <cite style="font-style:italic">Zahlentheorie</cite>. Ausgewählte Methoden und Ergebnisse (= <cite style="font-style:italic">Studienbücherei</cite>). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Waringsches+Problem&rft.au=Helmut+Koch%2C+Herbert+Pieper&rft.btitle=Zahlentheorie&rft.date=1976&rft.genre=book&rft.place=Berlin&rft.pub=VEB+Deutscher+Verlag+der+Wissenschaften&rft.series=Studienb%C3%BCcherei" style="display:none"> </li>

<li><a href="Melvyn_B._Nathanson" class="mw-redirect" title="Melvyn B. Nathanson">Melvyn B. Nathanson</a>: <cite style="font-style:italic">Additive Number Theory</cite>. The Classical Bases (= <cite style="font-style:italic">Graduate Texts in Mathematics</cite>. Band 164). Springer-Verlag, New York 1996, ISBN 0-387-94656-X.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Waringsches+Problem&rft.au=Melvyn+B.+Nathanson&rft.btitle=Additive+Number+Theory&rft.date=1996&rft.genre=book&rft.isbn=038794656X&rft.place=New+York&rft.pub=Springer-Verlag&rft.series=Graduate+Texts+in+Mathematics" style="display:none"> </li>

<li>Edward Waring: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=1MNbAAAAQAAJ&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false">Meditationes algebraicae.</a> Cambridge 31782.</li>

<li>Dennis Weeks (Hrsg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. ISBN 0821801694.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikisource.org/wiki/David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Erster_Band_%E2%80%93_Zahlentheorie/Kapitel_11" class="extiw external" title="s:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 11">Wikisource: David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, 11. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem).</a> – Quellen und Volltexte</div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html">Waring’s Problem.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li>Christoph Pöppe: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.spektrum.de/magazin/fast-jede-natuerliche-zahl-ist-summe-von-vier-kuben/821159">Fast jede natürliche Zahl ist Summe von vier Kuben</a> in Spektrum.de vom 1. Oktober 1993</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> David Hilbert: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002262746">Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-ter Potenzen (Waringsches Problem).</a> In: Mathematische Annalen. 67 (1909), S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002265311">Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.)</a> In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 2, S. 271–274.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Erik Stridsberg: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002264501">Sur la démonstration de M.(onsieur) Hilbert du théorème de Waring.</a> In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 145–152; Robert Remak: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN00226451X">Bemerkung zu Herrn Stridsbergs Beweis des Waringschen Theorems.</a> In: Mathematische Annalen 72 (1912), S. 153–156.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Juri Wladimirowitsch Linnik: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=6157&volume=54&year=1943&issue=2&fpage=225&what=fullt&option_lang=eng">Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана</a> [= Elementarnoe rešenie problemy Waring’a po metodu Šnirel’mana. (Elementare Lösung des Waringschen Problems mit Schnirelmans Methode.)] (PDF; 614 kB) In: Recueil Mathématique. Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 225–230.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Arthur Wieferich: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002262274">Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt.</a> In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 95–101.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Aubrey John Kempner: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN00226465X">Bemerkungen zum Waringschen Problem.</a> In: Mathematische Annalen. 72 (1912), S. 387–399.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Edmund Landau: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002262282">Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie.</a> In: Mathematische Annalen. 66 (1909), S. 102–105.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Leonard Eugene Dickson: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/bull/1939-45-08/S0002-9904-1939-07041-9/S0002-9904-1939-07041-9.pdf">All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes.</a> (PDF; 376 kB) In: Bulletin of the American Mathematical Society. 45 (1939), S. 588–591.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Arthur Wieferich: Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt. In: Mathematische Annalen. 66 (1909), hier S. 95: „Tabellen der kleinsten Anzahlen von positiven Kuben, in die sich die ganzen Zahlen zerlegen lassen, sind […] für die Zahlen bis 40.000 aufgestellt worden. Aus ihnen ergab sich, daß bis zur Grenze 40.000 hin alle Zahlen größer als 239 sich durch höchstens 8, oberhalb 454 durch höchstens 7 und oberhalb 8.042 durch höchstens 6 Kuben darstellen lassen, so daß vermutlich über eine gewisse Grenze (8.042) hinaus eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens 6 Kuben darstellbar ist.“

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Vgl. W. S. Baer: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002265508">Über die Zerlegung der ganzen Zahlen in sieben Kuben.</a> In: Mathematische Annalen. 74 (1913), Nr. 4, S. 511–514. – François Bertault; Olivier Ramaré; Paul Zimmermann: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-227/S0025-5718-99-01071-6/S0025-5718-99-01071-6.pdf">On sums of seven cubes.</a> (PDF; 243 kB) In: Mathematics of Computation. 68 (1999), Nr. 227, S. 1303–1310.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Juri Wladimirowitsch Linnik: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=sm&paperid=6156&what=fullt&option_lang=rus">On the representation of large numbers as sums of seven cubes.</a> (О разложении больших чисел на семь кубов [= O razloženii bol’šich čsel na sem’ kubov. (Über die Darstellung großer Zahlen als Summe von sieben Kuben.)]) (PDF; 600 kB) In: Comptes Rendus (Doklady) de l’Académie des Sciences de l’URSS. N. F. 35 (1942), Nr. 6, S. 162 ff. Auch in: Recueil Mathématique Математический Сборник [= Matematičeskij Sbornik (Mathematische Sammlung)] N. F. 12/54 (1943), Nr. 2, S. 218–224.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> George Leo Watson: <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-26/2/153.full.pdf+html">A proof of the seven cubes theorem.</a> In: Journal of the London Mathematical Society. 26 (1951), S. 153–156.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Ramachandran Balasubramanian; Jean-Marc Deshouillers; François Dress: Problème de Waring pour les bicarrés. In: Comptes rendus de l’Académie des sciences. Série I: Mathematique 303 (1986), Nr. 4, S. 85–88, Nr. 5, S. 161–163.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Harold Davenport: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/pss/1968889">On Waring’s Problem for Fourth Powers.</a> In: Annals of Mathematics. 40 (1939), Nr. 4, S. 731–747.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Aubrey John Kempner: Bemerkungen zum Waringschen Problem. In: Mathematische Annalen. 72 (1912), hier S. 395–396 (§ 4. Es kommen in der natürlichen Zahlreihe immer wieder Zahlen vor, die mindestens 16 positive Biquadrate erfordern).

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Chen Jingrun: <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261891140">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

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/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20151218175036/http://math.scichina.com:8081/sciAe/fileup/PDF/64ya0335.pdf">Waring’s Problem for g(5) = 37</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 18. Dezember 2015 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>) (PDF; 501 kB) In: Scientia Sinica. 13 (1964), S. 1547–1568. Auch in: Chinese Mathematics. Acta Scientiarum Mathematicarum. 6 (1965), S. 105–127.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s problem g(6) = 73. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences A 12 (1940). S. 30–40.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Leonard Eugene Dickson: The Waring Problem and its generalizations. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 42 (1936), S. 833–842.

</li>

<li id="cite_note-18"><a href="#cite_ref-18">↑</a> Subbayya Sivasankaranarayana Pillai: On Waring’s Problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 2 (1936), Nr. 2, S. 16–44; vgl. Sarvadaman Chowla: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ias.ac.in/article/fulltext/seca/004/03/0261-0261">Pillai’s Exact Formulae for the Number g(n) in Waring’s Problem.</a> (PDF; 41 kB) In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. A 4 (1936), S. 261.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Shri Raghunath Krishna Rubugunday: On g(k) in Waring’s problem. In: Journal of the Indian Mathematical Society. 6 (1942), Nr. 2, S. 192–198.

</li>

<li id="cite_note-20"><a href="#cite_ref-20">↑</a> Ivan Morton Niven: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.jstor.org/pss/2371901">An unsolved case of the Waring Problem.</a> In: American Journal of Mathematics. 66 (1944), S. 137–143.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> W. J. Ellison: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/warings-problem">Waring’s problem.</a> In: American Mathematical Monthly. 1971, Band 78, Seiten 10–36, Theorem 4.1.

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> R. M. Stemmler: The ideal Waring theorem for exponents 401–200,000. In: Math. Comp. 1964, Band 18, Seiten 144–146.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> K. Mahler: On the fractional parts of powers of real numbers. In: Mathematika. 1957, Band 4, Seiten 122–124.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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